Оператор Шредингера – один из основных объектов нерелятивистской квантовой-механики. Исследование его спектральных характеристик имеет широкое практическое применение. Так операторы Шредингера с точечными взаимодействиями представляют собой математическую модель, позволяющую изучить спектральные свойства квантовых систем, что играет важную роль не только в теоретической физике, но и для разработки новых наноустройств. Кроме того, исследования операторов Шредингера на графах способствуют как развитию общей теории операторов и методов спектрального анализа, так и их применению для анализа процессов в квантовой механике в контексте динамики частиц на графах, нейронах и других сложных многообразиях. Исследование структуры спектра операторов Шредингера имеет фундаментальное значение в математической физике и тесно связано с актуальными задачами теории обратных задач, дифференциальных операторов и интегрируемых систем.
Релятивистские квантовые системы (т.е. системы, в которых скорость света предполагается конечной) активно изучаются в современной науке, поскольку они имеют решающее значение для понимания фундаментальных законов природы. Оператор Дирака является важнейшим математическим объектом, описывающим такие системы, и учитывающим релятивистские эффекты и спин частиц. Такие модели позволяют анализировать локальные возмущения в релятивистской квантовой механике и имеют приложения в различных областях физики.
Исследование операторов Дирака, как многомерных, так и одномерных, представляет особый интерес, поскольку такие модели могут описывать сложные квантовые системы с нестандартными взаимодействиями и находят применение в различных научных и технических областях. Корректное описание граничных условий для системы Дирака позволяет изучать спектральные свойства операторов Дирака, включая дискретный спектр, резонансы и особенности спектральной плотности.
Таким образом, исследование спектральных свойств операторов Шредингера на графах и с точечными взаимодействиями, а также операторов Дирака, как с точечными взаимодействиями, так и без них, является актуальной задачей с важными теоретическими и прикладными приложениями в физике и математике.
Изучение существования и свойств решений нелинейных эллиптических уравнений и вариационных неравенств с нерегулярными данными является актуальным на протяжении последних двух-трех десятилетий. Об этом свидетельствует большое число работ по данной тематике, опубликованных в известных в мире математических журналах, в том числе такими крупными специалистами, как L. Boccardo, L. Orsina и A. Dall’Aglio (университет “Сапиенца”, Рим, Италия), A. Alvino, V. Ferone и G. Trombetti (Неаполитанский университет имени Фридриха II, Италия), A. Porretta (Римский университет Тор Вергата, Италия), F. Murat (Университет Сорбонны, Франция), T. Gallouet (Институт математики, Марсель, Франция), а также многими математиками из Испании, Китая, Марокко, Алжира и других стран. Вместе с тем в рамках соответствующей теории остаются не до конца изученные и возникают новые вопросы. Одним из таких вопросов является выяснение наиболее общих условий предельной суммируемости энтропийных и слабых решений нелинейных эллиптических уравнений с вырождающейся коэрцитивностью. Кроме того, представляет значительный интерес дальнейшее изучение вариационных неравенств с нерегулярными данными, в том числе нерегулярными ограничениями. Исследования по указанным вопросам планируется осуществить в 2025-2027 годах.
В современном мире научный (в первую очередь, в физике и химии) и технологический прогресс (в первую очередь, в любом техническом направлении),  основывается на составлении и обсчете математических моделей процессов или состояний. В центре любой сколько-нибудь продвинутой математической модели лежит дифференциальное уравнение или система таких уравнений. Составление и расчеты в математической модели возможны только в тогда, когда свойства дифференциального уравнения или системы достаточно глубоко изучены. Дифференциальные уравнения и системы таких уравнений являются чрезвычайно сложными математическими объектами и их изучение осуществляется в большом числе научных направлений многочисленными коллективами и индивидуальными исследователями. Направления исследований, которыми планируется заниматься в отделе математической физики на 2025-2027 годы, включают общую теорию граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными, исследования решений в обобщенных функциях, получение априорных оценок решений в различных функциональных пространствах. 
Динамические системы обычно классифицируются как динамические системы с непрерывным временем или как динамические системы с дискретным временем. Например, классические механические системы и аналоговые электронные системы, развивающиеся во времени в соответствии с принципами физики, такими как законы Ньютона и Кирхгофа, могут естественным образом рассматриваться как динамические системы с непрерывным временем. Финансовые счета, алгоритмы оптимизации и цифровые системы могут естественным образом рассматриваться как динамические системы с дискретным временем. Но имеются многочисленные динамические системы, к которым неприемлема такая четкая классификация. Фактически существуют динамические системы, которые демонстрируют характеристики, типичные как для систем с непрерывным временем, так и для систем с дискретным временем. Примерами служат схемы, которые объединяют аналоговые и цифровые компоненты, а также механические устройства, управляемые цифровыми компьютерами. Такие системы называются гибридными системами. Гибридная система — это динамическая система, которая демонстрирует характеристики как непрерывных, так и дискретных динамических систем, или динамическая система, которая моделируется с помощью комбинации общих инструментов моделирования для непрерывных и дискретных динамических систем. Целью данного исследования является объединение и обобщение на гибридные системы многочисленных результатов из теории устойчивости для классических нелинейных динамических систем.
При изучении задач динамики механических систем, которые содержат один или несколько вращающихся роторов (гиростат, гироскоп в кардановом подвесе) часто предполагается, что  ротор либо вращается по инерции без трения, либо он вращается с постоянной относительной угловой скоростью. На практике быстро вращающийся ротор испытывает значительное тормозящее воздействие диссипативных сил, и поэтому для поддержания вращения ротора используется электромотор. Два основных типа электромоторов  ̶  асинхронный и синхронный. Удобным объектом для изучения влияния электромотора на динамику механической системы является гироскоп в кардановом подвесе. Первые исследования в этом направлении принадлежат С.А. Харламову и В.В. Крементуло. Они пользовались простейшими линейными бестоковыми моделями электромоторов. В таких моделях суммарный момент, создаваемый электромотором и диссипативными силами относительно оси ротора (гироскопа), не зависит от электрических токов, а зависит лишь от угловой скорости вращения ротора относительно статора в случае асинхронного электромотора, а в случае синхронного электромотора он зависит также от угла поворота ротора относительно вращающегося магнитного поля статора. В ФГБНУ ИПММ был проведен цикл исследований задач динамики гироскопа в кардановом  подвесе с использованием нелинейных бестоковых моделей электромоторов. Естественным продолжением этих работ стало применение в этих задачах многотоковой модели синхронного электромотора, предложенной Г.А. Леоновым и А.М. Зарецким и включающей дифференциальные уравнения для электрических токов.   Однако модели асинхронного электромотора, содержащие дифференциальные уравнения для электрических токов, до сих пор не использовались при рассмотрении такого рода задач. Особый интерес представляет здесь изучение вопросов устойчивости стационарных решений дифференциальных уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе на основе модели асинхронного электромотора, содержащей дифференциальные уравнения для электрических токов.